14.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,D是AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)若∠A1AB=∠ACB=60°,AB=BB1,AC=2,BC=1,求三棱錐A1-ABD的體積.

分析 (1)連接AB1,交A1B于點(diǎn)O,連接DO,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明B1C∥平面A1BD;
(2)若∠A1AB=∠ACB=60°,AB=BB1,AC=2,BC=1,分別求出三棱錐的底面積和高的大小,根據(jù)三棱錐的體積公式即可求三棱錐A1-ABD的體積.

解答 (1)連接AB1,交A1B于點(diǎn)O,連接DO
在△ACB1中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),點(diǎn)O是AB1的中點(diǎn)
∴CB1∥DO,
∵BC1?平面A1BD,DO?平面A1BD
∴BC1∥平面A1BD.
(2)取AB的中點(diǎn)E,連接A1E,ED,
則ED∥BC,且ED=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$,
∵∠A1AB=60°,AB=BB1,
∴四邊形AA1B1B是菱形,
則AE⊥AB,∵平面AA1B1B⊥平面ABC,
∴AE⊥平面ABC,
即AE是三棱錐A1-ABD的高,
∵∠ACB=60°,AC=2,BC=1,
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BCcos60°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$,
則滿足AC2=BC2+AB2
即△ABC是直角三角形,
則BC⊥AB,即ED⊥AB,
則△ABD的面積S△ABD=$\frac{1}{2}AB•ED$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
AE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$
則三棱錐A1-ABD的體積V=$\frac{1}{3}$S△ABD•AE=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定以及三棱錐體積的計(jì)算,根據(jù)面面垂直和線面平行的性質(zhì)定理求出三棱錐的底面積和高是解決本題的關(guān)鍵.

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