Question

己知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C：y²=x的焦點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于不同兩點(diǎn)P，Q．以F為圓心，以FP，F(xiàn)Q為半徑作圓，分別交x軸負(fù)半軸于M，N，直線(xiàn)PM，QN交于點(diǎn)T．
（I）判斷直線(xiàn)PM與拋物線(xiàn)C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（II）連接FT，F(xiàn)Q，F(xiàn)P，記S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT設(shè)直線(xiàn)l在y軸上的截距為m，當(dāng)m何值時(shí)，取得最小值，并求出取到最小值時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)PM的方程，代入拋物線(xiàn)方程，利用判別式可得結(jié)論；
（II）將直線(xiàn)PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0，計(jì)算點(diǎn)F到直線(xiàn)PT的距離，點(diǎn)Q到直線(xiàn)PT的距離，從而可得=，同理沒(méi)勁兒可得，令t=，則，利用導(dǎo)數(shù)法，即可求出的最小值，從而可得取到最小值時(shí)直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（I）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意及拋物線(xiàn)的定義知：M（-x₁，0），N（-x₂，0），
∴
∴直線(xiàn)PM：y-y₁=，即
代入y²=x可得
∵
∴直線(xiàn)PM與拋物線(xiàn)C相切；
（II）直線(xiàn)PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0
∴y₁+y₂=1，y₁y₂=m
點(diǎn)F到直線(xiàn)PT的距離；點(diǎn)Q到直線(xiàn)PT的距離
∴=，同理
又直線(xiàn)PM與QN的交點(diǎn)T，∴
∴
∴
令t=，∴
∵
∴f（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
∴，此時(shí)，即直線(xiàn)l的方程為
綜上可知，的最小值為，取到最小值時(shí)直線(xiàn)l的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查三角形的面積，考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．