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9.在四邊形ABCD中,已知AB=9,BC=6,CP=2PD
(1)若四邊形ABCD是平行四邊形,且APBP=18,求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若ABAD夾角的余弦值為13,且APBP∈[5,10],用反證法證明:四邊形ABCD不可能是平行四邊形.

分析 (1)把ABAD看作基底,把且APBP用基底表示,代入且APBP=18可得ABAD=0,從而證得答案;
(2)假設(shè)四邊形ABCD不可能是平行四邊形,由已知結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求得APBP的范圍,與已知范圍矛盾,說明假設(shè)錯誤.

解答 證明:(1)如圖
AB=9,BC=6,CP=2PD,且四邊形ABCD是平行四邊形,
APBP=18,得AD+DPBC+CP=AD+13ABAD23AB=18,
|AD|213ABAD29|AB|2=18,
∴36-13ABAD18=18,得ABAD=0
即AB⊥AD,
∴平行四邊形ABCD是矩形;
(2)如圖,
假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形,
由AB=9,BC=6,CP=2PD,四邊形ABCD是平行四邊形,且cos<ABAD>=13,
APBP=AD+DPBC+CP=AD+13ABAD23AB=|AD|213|AB||AD|×1329|AB|2
=3613×13×9×629×81=12.
與已知APBP∈[5,10]矛盾,
∴假設(shè)錯誤,
故四邊形ABCD不可能是平行四邊形.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查了向量加法與減法的幾何意義,訓(xùn)練了反證法證題的思想和步驟,屬中檔題.

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