Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，SA=SD，SA⊥AB，N是棱AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB∥平面SCD；
（Ⅱ）求證：SN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出

SP

PC

的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先判斷出AB∥CD，進(jìn)而利用線面平行的判定定理得證．
（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理推斷出AB⊥平面SAD，進(jìn)而推斷AB⊥SN．同時(shí)利用SA=SD，且N為AD中點(diǎn)，推斷出SN⊥AD利用線面垂直判定定理得證．
（Ⅲ）連接BD交NC于點(diǎn)F，在平面SNC中過(guò)F作FP∥SN交SC于點(diǎn)P，連接PB，PD．通過(guò)SN⊥平面ABCD，推斷出 FP⊥平面ABCD．利用面面垂直的性質(zhì)推斷平面PBD⊥平面ABCD．進(jìn)而通過(guò)ND∥BC，推斷出 

NF

FC

=

ND

BC

并可求得值，最后通過(guò)FP∥SN，得出

NF

FC

=

SP

PC

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵AB?平面SCD，CD?平面SCD，
所以 AB∥平面SCD．
（Ⅱ）證明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面SAD，
又∵SN?平面SAD，
∴AB⊥SN．
∵SA=SD，且N為AD中點(diǎn)，
∴SN⊥AD．
∴SN⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：如圖，連接BD交NC于點(diǎn)F，在平面SNC中過(guò)F作FP∥SN交SC于點(diǎn)P，連接PB，PD．
∵SN⊥平面ABCD，
∴FP⊥平面ABCD．
又∵FP?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD．
在矩形ABCD中，∵ND∥BC，
∴

NF

FC

=

ND

BC

=

1

2

．
在△SNC中，∵FP∥SN，
∴

NF

FC

=

SP

PC

=

1

2

．
則在棱SC上存在點(diǎn)P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此時(shí)

SP

PC

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的判定等知識(shí)．考查了學(xué)生對(duì)基本定理的熟練記憶和靈活運(yùn)用．