Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x； 
②f（x）=x²-1； 
③f（x）=sinx；
④f（x）=cosx
⑤f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+2}$
其中是“倍約束函數(shù)”的有 ①⑤．（將符合條件的函數(shù)的序號(hào)都寫上）

Answer 1

分析 由已知得“倍約束函數(shù)”中，對(duì)任意x∈R，存在正數(shù)K，都有 M≥$\frac{|f（x）|}{|x|}$成立，由此分別對(duì)給出的函數(shù)一一判斷，能求出結(jié)果．

解答 ??解：∵對(duì)任意x∈R，存在正數(shù)M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴對(duì)任意x∈R，存在正數(shù)K，都有 M≥$\frac{|f（x）|}{|x|}$成立
∴對(duì)于①，f（x）=2x，$\frac{|f（x）|}{|x|}$=$\frac{|2x|}{|x|}$≤2，故①是“倍約束函數(shù)”；
對(duì)于②，當(dāng)x²＞1時(shí)，$\frac{|f（x）|}{|x|}$=$\frac{|{x}^{2}-1|}{|x|}$=|x|-$\frac{1}{|x|}$=$\frac{1}{|x|}$（x²-1）＞$\frac{1}{|x|}$，故不存在滿足條件的M值，故②不是“倍約束函數(shù)”；
對(duì)于③，f（x）=sinx，由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，故③不是“倍約束函數(shù)”；
對(duì)于④，f（x）=sinx，由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，故④不是“倍約束函數(shù)”；
對(duì)于⑤，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+2}$，
$\frac{|f（x）|}{|x|}$=$\frac{1}{|{x}^{2}-2x+2|}$≤1，故⑤是“倍約束函數(shù)”．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查“倍約束函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．