精英家教網(wǎng)已知在橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,F(xiàn)1(-c,0)(c>0)是橢圓的左焦點(diǎn),A(a,0),B(0,b)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)O是橢圓的中心.又點(diǎn)P在橢圓上,且滿足條件:OP∥AB,點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的投影.
(Ⅰ)求證:當(dāng)a取定值時(shí),點(diǎn)H必為定點(diǎn);
(Ⅱ)如圖所示,當(dāng)點(diǎn)P在第二象限,以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切,且四邊形ABPH的面積等于3+
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
分析:(I)由kAB=-
b
a
,OP∥AB,得lOP:y=-
b
a
x
,代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得x2=
a2
2
,由此能夠證明為定值,點(diǎn)H必為定點(diǎn).
(II)當(dāng)點(diǎn)P在第二象限,點(diǎn)O到直線AB的距離等于
1
2
|OP|
,由條件設(shè)直線AB的方程為:
x
a
+
y
b
=1
,則點(diǎn)O到直線AB的距離為d=
ab
a2+b2
,由P(-
2
2
a,
2
2
b)
,知|OP|=
2a2+2b2
2
,從而
ab
a2+b2
=
2a2+2b2
4
,由四邊形ABPH的面積等于3+
2
,知SABPH=S△ABO+SOBPH=
1
2
ab+
1
2
×(
2
2
b+b)×
2
2
a=
3+
2
4
ab=3+
2
.由此能夠求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解答:解:(I)由kAB=-
b
a
,OP∥AB,得lOP:y=-
b
a
x
,代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得x2=
a2
2
,即x=±
2
2
a
,
y=-
b
a
x
,得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
2
2
a,
2
2
b)
(
2
2
a,-
2
2
b)
,(3分)
∵PH⊥x軸,∴H(-
2
2
a,0)
H(
2
2
a,0)
精英家教網(wǎng)
∵a為定值,∴點(diǎn)H必為定點(diǎn).(6分)

(II)當(dāng)點(diǎn)P在第二象限,以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切,
即等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于
1
2
|OP|
,(8分)
由條件設(shè)直線AB的方程為:
x
a
+
y
b
=1

則點(diǎn)O到直線AB的距離為d=
ab
a2+b2

又由(I)可知P(-
2
2
a,
2
2
b)
,所以|OP|=
2a2+2b2
2

從而
ab
a2+b2
=
2a2+2b2
4
,即a2+b2=2
2
ab
①(10分)
又四邊形ABPH的面積等于3+
2

則SABPH=S△ABO+SOBPH
=
1
2
ab+
1
2
×(
2
2
b+b)×
2
2
a=
3+
2
4
ab=3+
2

整理得ab②(12分)
由①②解得a2=4(
2
+1)
b2=4(
2
-1)

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4(
2
+1)
+
y2
4(
2
-1)
=1
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓錐曲線的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其焦距為2c,若
c
a
=
5
-1
2
(≈0.618),則稱橢圓C為“黃金橢圓”.
(1)求證:在黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)中,a、b、c成等比數(shù)列.
(2)黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(c,0),P為橢圓C上的任意一點(diǎn).是否存在過點(diǎn)F2、P的直線l,使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-3
PF2
?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)F1、F2.試寫出“黃金雙曲線”的定義;對(duì)于上述命題,在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過(0,1)點(diǎn),離心率e=
2
2
;直線l:y=kx+m(m>0)與圓O:x2+y2=1相切,并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
Ⅰ.求橢圓C的方程及m與k的關(guān)系式m=f(k);
Ⅱ.設(shè)
OA
,
OB
=θ,且滿足|
OA|
=
2
,|
OB
|=
10
3
cosθ=
5
5
求直線l的方程;
Ⅲ.在Ⅱ.的條件下,求三角形AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:橢圓C:
x2a2
+y2=1(a>1)
的上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,直線AF2與圓M:(x-3)2+(y-1)2=3相切
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為B,直線y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,當(dāng)|BM|=|BN|時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),N為弦AB的中點(diǎn);又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對(duì)稱軸的方程是x=
π
6
.(1)求橢圓C的離心率e與直線AB的方程;(2)對(duì)于任意一點(diǎn)M∈C,試證:總存在角θ(θ∈R)使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立.

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同步練習(xí)冊(cè)答案