Question

14．記函數(shù)f（x）（$\frac{1}{e}$＜x≤e，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）的導數(shù)為f′（x），函數(shù)g（x）=（x-$\frac{1}{\sqrt{e}}$）f′（x）只有一個零點，且g（x）的圖象不經(jīng)過第一象限，當x＞$\frac{1}{e}$時，f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，f[f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$]=0，下列關于f（x）的結(jié)論，成立的是（　　）

• A． 當x=e時，f（x）取得最小值
• B． f（x）最大值為1
• C． 不等式f（x）＜0的解集是（1，e）
• D． 當$\frac{1}{e}$＜x＜1時，f（x）＞0

Answer 1

分析 設t=f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$，由f（t）=0，求出t的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值，求出答案即可．

解答 解：∵f[f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$]=0，
故可設t=f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$，
即f（x）=-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+t，
由f（t）=0，得：-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+t=0，
∴l(xiāng)nt=0或lnt=-$\frac{3}{4}$，
∴t=1或t=${e}^{-\frac{3}{4}}$，
∵t＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，故t=1，
∴f（x）=-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+1，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$[$\frac{1}{{（lnx+1）}^{2}}$-4]，
∵$\frac{1}{e}$＜x≤e，∴-1＜lnx≤1，
故x∈（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）時，f′（x）＞0，
x∈（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，e）時，f′（x）＜0，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=1，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，求出函數(shù)f（x）的解析式是解題的關鍵，本題是一道中檔題．