Question

16．平面直角坐標系中，已知直線l：x=4，定點F（1，0），動點P（x，y）到直線l的距離是到定點F的距離的2倍．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若M為軌跡C上的動點，直線m過點M且與軌跡C只有一個公共點，求證：此時點E（-1，0）和點F（1，0）到直線m的距離之積為定值．

Answer 1

分析 （1）設點P到l的距離為d，依題意得|x-4|=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，由此能得到軌跡C的方程．
（2）設M（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．確定直線m的方程為$\frac{mx}{4}+\frac{ny}{3}$=1，求出點E（-1，0）和點F（1，0）到直線m的距離之積，即可得出結論．

解答 （1）解：設點P到l的距離為d，依題意得d=2|PF|，
即|x-4|=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得，軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．         
（2）證明：設M（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．
∵直線m過點M且與軌跡C只有一個公共點，
∴直線m的方程為$\frac{mx}{4}+\frac{ny}{3}$=1，
∴點E（-1，0）和點F（1，0）到直線m的距離之積為$\frac{|-\frac{m}{4}-1||\frac{m}{4}-1|}{\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{9}}$=$\frac{|1-\frac{{m}^{2}}{16}|}{\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{1}{3}-\frac{{m}^{2}}{12}}$=3為定值．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．