Question

3．為了調研某地區(qū)男性的身高情況，研究機構在該地區(qū)隨機抽取了30位不同的男性居民進行身高測量，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理如下（單位：cm）：
157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174
180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184
（1）請將上述數(shù)據(jù)整理并繪制在如圖的莖葉圖中；
（2）用樣本估計總體若從該地區(qū)所有男性居民中隨機選取4人，記4人中身高超過175cm的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由該地區(qū)隨機抽取了30位不同的男性居民身高測量數(shù)據(jù)，能作出莖葉圖．
（2）抽取30人中10人身高超過175cm，概率為$\frac{1}{3}$，X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由該地區(qū)隨機抽取了30位不同的男性居民身高測量數(shù)據(jù)，能作出莖葉圖：
（2）抽取30人中10人身高超過175cm，概率為$\frac{1}{3}$，
X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵X～B（4，$\frac{1}{3}$），∴EX=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查莖葉圖的作法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．