【題目】已知集合A={x∈R|x2-ax+b=0},B={x∈R|x2+cx+15=0},A∩B={3},A∪B={3,5}.
(1)求實數(shù)a,b,c的值;
(2)設集合P={x∈R|ax2+bx+c≤7},求集合P∩Z.
【答案】(1) a=6,b=9,c=-8;(2) {-2,-1,0,1}
【解析】
(1)因為A∩B={3},所以3∈B,所以32+3c+15=0即得c=-8. 因為A∩B={3},A∪B={3,5},所以A={3},所以方程x2-ax+b=0有兩個相等的實數(shù)根都是3,從而求出a,b的值.(2)先求出P=-≤x≤1},再求集合P∩Z.
(1)因為A∩B={3},所以3∈B,所以32+3c+15=0,c=-8,所以B={x∈R|x2-8x+15=0}={3,5}.
又因為A∩B={3},A∪B={3,5},所以A={3},所以方程x2-ax+b=0有兩個相等的實數(shù)根都是3,所以a=6,b=9,所以a=6,b=9,c=-8.
(2)不等式ax2+bx+c≤7即6x2+9x-8≤7,
所以2x2+3x-5≤0,
所以-≤x≤1,
所以P=-≤x≤1},
所以P∩Z=-≤x≤1}∩Z={-2,-1,0,1}.
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【題目】已知復數(shù)滿足,的虛部為,且在復平面內(nèi)對應的點在第二象限.
(1)求復數(shù);
(2)若復數(shù)滿足,求在復平面內(nèi)對應的點的集合構成圖形的面積.
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【題目】如圖,已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點,平行于的直線在軸上的截距為,直線交橢圓于兩個不同點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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【題目】對于數(shù)集,其中, ,定義向量集.若對于任意,使得,則稱具有性質.例如具有性質.
()若,且具有性質,求的值.
()若具有性質,求證: ,且當時, .
()若具有性質,且, (為常數(shù)),求有窮數(shù)列, , , 的通項公式.
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【題目】某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池,其容積為立方米,深為.如果池底每平方米的造價為元,池壁每平方米的造價為元,那么怎樣設計水池能使總造價最低(設蓄水池池底的相鄰兩邊邊長分別為,)?最低總造價是多少?
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【題目】設橢圓的左、右交點分別為, ,點滿足.
()求橢圓的離心率.
()設直線與橢圓相交于, 兩點,若直線與圓相交于, 兩點,且,求橢圓的方程.
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【題目】如圖所示,將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇,要求點在上,點在上,且對角線過點,已知米,米.
(1)要使矩形的面積大于平方米,則的長應在什么范圍內(nèi)?
(2)當的長度是多少時,矩形花壇的面積最小?并求出最小值.
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