【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,(a>0且a≠1).記F(x)=2f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的零點;
(2)若關(guān)于x的方程F(x)﹣2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:F(x)=2f(x)+g(x)= (a>0且a≠1),

要使函數(shù)F(x)有意義,則必須 ,解得﹣1<x<1,

∴函數(shù)F(x)的定義域為D=(﹣1,1).

令F(x)=0,則 …(*)

方程變?yōu)?

∴(x+1)2=1﹣x,即x2+3x=0

解得x1=0,x2=﹣3,

經(jīng)檢驗x=﹣3是(*)的增根,

∴方程(*)的解為x=0,

∴函數(shù)F(x)的零點為0


(2)解:函數(shù) 在定義域D上是增函數(shù),可得:

①當(dāng)a>1時,F(xiàn)(x)=2f(x)+g(x)在定義域D上是增函數(shù),

②當(dāng)0<a<1時,函數(shù)F(x)=2f(x)+g(x)在定義域D上是減函數(shù).

因此問題等價于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F(x)在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解.

①當(dāng)a>1時,由(2)知,函數(shù)F(x)在[0,1)上是增函數(shù),

∴F(x)∈[0,+∞),

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0,解得:m≤﹣1,或

②當(dāng)0<a<1時,由(2)知,函數(shù)F(x)在[0,1)上是減函數(shù),

∴F(x)∈(﹣∞,0],

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得:

綜上所述,當(dāng)0<a<1時: ;

當(dāng)a>1時,m≤﹣1,或


【解析】(1)利用對數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的定義域即可得出F(x)其定義域,利用零點的意義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出;(2)對a分類討論可得函數(shù)F(x)的單調(diào)性,進(jìn)而問題等價于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F(x)在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解.再利用一元二次不等式的解法即可得出.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零),還要掌握函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系(二次函數(shù)的零點:(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;(2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;(3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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C.3x﹣4y﹣16=0
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-1

0

4

5

1

2

2

1

①函數(shù)的極大值點為0,4;

②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);

③如果當(dāng)時, 的最大值是2,那么t的最大值為4;

④當(dāng)1<a<2時,函數(shù)有4個零點.

其中正確命題的序號是__________

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