等邊三角形ABC的邊長為2沿平行于BC的線段PQ折起,使平面APQ⊥平面PBCQ,設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為x,AB的長為d.
(Ⅰ)x為何值時,d2取得最小值,最小值是多少;
(Ⅱ)若∠BAC=θ,求cosθ的最小值.
分析:(I)如圖(1)為折疊前對照圖,圖(2)為折疊后的空間圖形.利用面面垂直和線面垂直的判定與性質(zhì)定理和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(II)在等腰△ADC中,使用余弦定理和利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(Ⅰ)如圖(1)為折疊前對照圖,圖(2)為折疊后的空間圖形.
∵平面APQ⊥平面PBCQ,又∵AR⊥PQ,
∴AR⊥平面PBCQ,∴AR⊥RB.
在Rt△BRD中,BR2=BD2+RD2=1+(
3
-x)2
,
AR2=x2
故d2=BR2+AR2=2x2-2
3
x+4
(0<x<
3
)

∴當(dāng)x=
3
2
時,d2取得最小值
5
2

(Ⅱ)∵AB=AC=d,BC=2,
∴在等腰△ADC中,由余弦定理得cosθ=
2d2-22
2d2
,即cosθ=1-
4
2d2
,
∴當(dāng)d2=
5
2
時,cosθ取得最小值
1
5
點(diǎn)評:本題考查了面面垂直和線面垂直的判定與性質(zhì)定理和二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理和余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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A、
3
2
B、
3
2
C、
3
D、3

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等邊三角形ABC的邊長為1,
BC
=
a
,
CA
=
b
,
AB
=
c
,則
a
b
+
b
c
+
c
a
=( 。

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(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式并指出函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)AD等于多少時,y有最大值,并求出最大值.

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BP
CQ
-
AP
CB
=
1
1

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