Question

（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上是減函數(shù)；

（2）求函數(shù)的值域．

 

Answer 1

（1）證明：設(shè)是上的任意兩個(gè)值，且,則

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723495536166855/SYS201411172350009087781755_DA/SYS201411172350009087781755_DA.006.png">，所以，所以．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723495536166855/SYS201411172350009087781755_DA/SYS201411172350009087781755_DA.009.png">，所以，所以

在上是減函數(shù)的．（2）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)是上的任意兩個(gè)值，且，通過作差證明即可；

（2）令，則，即，易知函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而可得函數(shù)的值域．

試題解析：（1）證明：設(shè)是上的任意兩個(gè)值，且,則

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723495536166855/SYS201411172350009087781755_DA/SYS201411172350009087781755_DA.006.png">，所以，所以．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723495536166855/SYS201411172350009087781755_DA/SYS201411172350009087781755_DA.009.png">，所以，所以

在上是減函數(shù)的．

（2）令,則，代入函數(shù)表達(dá)式化簡得，由（1）知，

在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí),y=；當(dāng)t=1即x=2時(shí),y=12．

所以原函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723495536166855/SYS201411172350009087781755_DA/SYS201411172350009087781755_DA.013.png">．

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明．