Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組底邊長為a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，…），底邊B_nC_n依次放置在y軸上（相鄰頂點(diǎn)重合），點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（0，b）．
（Ⅰ）若b=1，a₁=2，a₂=4，求點(diǎn)A₁，A₂的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一直線上，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用有一組底邊長為a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，…），底邊B_nC_n依次放置在y軸上（相鄰頂點(diǎn)重合），點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（0，1），a₁=2，a₂=4，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）先分析A_n 點(diǎn)的坐標(biāo)，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一條直線上，得到斜率相等，從而得出a_n²=a_n-1a_n+1，故可證數(shù)列 {a_n}是等比數(shù)列．

解答： （Ⅰ）解：∵b=1，a₁=2，a₂=4，
∴A₁（1，2），A₂（2，5）；
（Ⅱ）證明：有題意，A_n 點(diǎn)的坐標(biāo)為A_n（

an

2

，b+a₁+a₂+…+a_n-1+

an

2

），
∵A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一直線上，
∴kAnAn-1=kAnAn+1，
∴

an+1 2 + an 2

an+1 2 - an 2

=

an 2 + an-1 2

an 2 - an-1 2

，
∴a_n²=a_n-1a_n+1，
∴數(shù)列 {a_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的證明，求解的關(guān)鍵是題意得挖掘，利用點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為斜率相等．