分析 (I)由1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N*),n=1時(shí),解得a1=1.n≥2時(shí),利用遞推關(guān)系可得:1an=2n-1,解得an即可得出.
(II)bn=anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1).利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 解:(I)∵1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N*),
∴n=1時(shí),1a1=1,解得a1=1.
n≥2時(shí),1a1+1a2+1a3+…+1an−1=(n-1)2,相減可得:1an=2n-1,解得an=12n−1.(n=1時(shí)也成立).
∴an=12n−1.
(II)bn=anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1).
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1).
不等式Sn>λ-12,化為:λ<1−12(2n+1).
∵存在正整數(shù)n,使得Sn>λ-12,數(shù)列{−12(2n+1)}單調(diào)遞增.
∴56≤λ<1.
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[56,1).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (12,+∞) | B. | (-∞,12) | C. | (-∞,-12) | D. | (-∞,-12)∪(12,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 充分必要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -1或3 | B. | 1或-3 | C. | 1 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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