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10.已知數(shù)列{an}滿足:1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anan+1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.存在正整數(shù)n,使得Sn>λ-12,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

分析 (I)由1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N*),n=1時(shí),解得a1=1.n≥2時(shí),利用遞推關(guān)系可得:1an=2n-1,解得an即可得出.
(II)bn=anan+1=12n12n+1=1212n112n+1.利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(I)∵1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N*),
∴n=1時(shí),1a1=1,解得a1=1.
n≥2時(shí),1a1+1a2+1a3+…+1an1=(n-1)2,相減可得:1an=2n-1,解得an=12n1.(n=1時(shí)也成立).
∴an=12n1
(II)bn=anan+1=12n12n+1=1212n112n+1
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=12[113+1315+…+12n112n+1]=12112n+1
不等式Sn>λ-12,化為:λ<1122n+1
∵存在正整數(shù)n,使得Sn>λ-12,數(shù)列{122n+1}單調(diào)遞增.
56≤λ<1.
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[561

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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