Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤3x恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．

Answer 1

8
分析：由當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤3x恒成立，即設(shè)g（x）=f（x+t）-3x≤0恒成立，即要求g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范圍，討論m的取值即可得到m的最大值．
解答：設(shè)g（x）=f（x+t）-3x=x²+（2t-1）x+（1+t）²-1，
由題值f（x+t）-3x≤0恒成立
即g（1）≤0且g（m）≤0分別解得：
t∈[-4，0]，m²+（2t-1）m+（t+1）²-1≤0，
即當(dāng)t=-4時(shí)，得到m²-9m+8≤0，解得1≤m≤8；當(dāng)t=0時(shí)，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1
綜上得到：m∈（1，8]，所以m的最大值為8
故答案為：8．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)取條件的能力．靈活運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法的能力，考查分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．屬中檔題．