Question

已知點(diǎn)的序列A_n(x_n，0),n∈N,其中x₁=0,x₂=a(a＞0),A₃是線段A₁A₂的中點(diǎn)，A₄是線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點(diǎn)，….
(1)寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間關(guān)系式(n≥3);
(2)設(shè)a_n=x_n+1－x_n，計(jì)算a₁,a₂,a₃，由此推測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明；
(3)求x_n

Answer 1

(1) x_n=; (2) a_n=(－)^n-1a(n∈N) ，(3)a

 (1)當(dāng)n≥3時(shí)，x_n=;

由此推測(cè)a_n=(－)^n-1a(n∈N)
證法一:因?yàn)?i>a₁=a＞0,且
 (n≥2)
所以a_n=(－)^n-1a 
證法二: 用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=x_k+2－x_k+1=

據(jù)(ⅰ)(ⅱ)可知，對(duì)任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.
(3)當(dāng)n≥3時(shí)，有
x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁=a_n－1+a_n－2+…+a₁,
由(2)知{a_n}是公比為－的等比數(shù)列，所以a.