Question

20．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
E為PC中點．
（Ⅰ）求證：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠BED=90°，求三棱錐E-BDP的體積．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于O點，連接EO，由中位線定理得出OE∥PA，由于PA⊥平面ABCD，故而OE⊥平面ABCD，于是平面BED⊥平面ABCD；
（II）在直角三角形BDE中，根據(jù)BD的長得出OE，從而求得PA，于是三棱錐E-BDP的體積對于四棱錐P-ABCD的體積減去三棱錐P-ABD和三棱錐E-BCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O點，連接EO，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴O是AC的中點，又∵E為PC中點，
∴OE∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面BED，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$．
∵OE⊥平面ABCD，
∴OE⊥BD，
∵∠BED=90°，∴OE=$\frac{1}{2}BD$=OB=$\sqrt{3}$，
∴PA=2OE=2$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×2×2\sqrt{3}$=4．
V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×2\sqrt{3}$=2．
V_E-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•OE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×\sqrt{3}$=1．
∴V_E-BDP=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_E-BCD=4-2-1=1．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．