Question

5．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D為PC的中點，E為PB的中點．
（Ⅰ）求證：BC∥平面ADE；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=2，求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析 （I）由中位線定理得出DE∥BC，故而BC∥平面ADE；
（II）證明BC⊥平面PAB，得出DE⊥平面PAB，于是V_A-BDE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}$S_△ABE•DE．

解答 證明：（Ⅰ）∵D為PC的中點，E為PB的中點，
∴DE為△PBC的中位線，∴DE∥BC，
∵DE?平面ADE，BC?平面ADE，
∴BC∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
由（Ⅰ）可知DE∥BC，
∴DE⊥平面PAB，
∵PA=AB=2，E是PB的中點，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}$=1，
又∵DE=$\frac{1}{2}$BC=1．
∴V_A-BDE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．