Question

已知函數(shù)f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù)．
（1）求k的值
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b沒有交點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b沒有交點，即log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b無解，從而方程log₉（9^x+1）-x=b無解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．可以驗證g（x）為減函數(shù)，從而得到g（x）＞0，進而可求實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）因為y=f（x）為偶函數(shù)，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒為零，
∴k=-

1

2

．
（2）由題意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b，即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．
因為g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜9x1＜9x2，從而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
因為1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．
所以b的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題重點考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運用偶函數(shù)的定義，合理將問題進行等價轉(zhuǎn)化．