【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),為上一點(diǎn),以為邊作等邊三角形,且、、三點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線: ,經(jīng)過伸縮變換得到曲線,試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn),如果有,請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),沒有則說明理由.
【答案】(1)(2).
【解析】試題分析:考慮到 則點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為將點(diǎn)代入直線的極坐標(biāo)方程中得到關(guān)于的方程即為點(diǎn)的極坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程.(2)將曲線的普通方程與直線普通方程聯(lián)立 故必有兩個(gè)交點(diǎn).
試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,
再由點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于, ,
可得,
可得,
故當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅱ)曲線: ,
,即,代入,即,
聯(lián)立點(diǎn)的軌跡方程,消去得,
有交點(diǎn),坐標(biāo)分別為.
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(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值.
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【題目】某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是:4km以內(nèi)(含4km)10元,超過4km且不超過18km的部分1.2元/km,超過18km的部分1.8元/km,不計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用.
(1)如果某人乘車行駛了10km,他要付多少車費(fèi)?
(2)試建立車費(fèi)y(元)與行車?yán)锍蘹(km)的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為、,離心率.過的直線交橢圓于、兩點(diǎn),三角形的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若弦,求直線的方程.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),為上一點(diǎn),以為邊作等邊三角形,且、、三點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線: ,經(jīng)過伸縮變換得到曲線,試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn),如果有,請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),沒有則說明理由.
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【題目】已知圓: (),設(shè)為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn),過點(diǎn)作圓的弦,并使弦的中點(diǎn)恰好落在軸上.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)延長交曲線于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn),試判斷以點(diǎn)為圓心,線段長為半徑的圓與直線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】已知⊙C經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn),且圓心C在直線上.
(1)求⊙C的方程;
(2)若直線與⊙C總有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓(),四點(diǎn), , , 中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
(1)求的方程;
(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之和為,證明: 過定點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:對(duì)任意, ,都有成立;
(3)對(duì)于給定的正數(shù),有一個(gè)最大的正數(shù),使得整個(gè)區(qū)間上,不等式恒成立,求出的解析式.
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