Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若AP=2AB，求證：BE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）欲證BE∥平面PAD，而BE?平面EBM，可先證平面EBM∥平面APD，取CD的中點(diǎn)M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD  BM∩EM=M，滿足面面平行的判定；
（2）取PD的中點(diǎn)F，連接FE，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，及等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC．

解答：證明：（1）取CD的中點(diǎn)M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD 
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD
而BE?平面EBM
∴BE∥平面PAD
（2）取PD的中點(diǎn)F，連接FE，
則FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握線面平行及線面垂直的判定定理是解答的關(guān)鍵．