Question

8．已知雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x，雙曲線的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，則拋物線的準線與雙曲線的兩交點為A，B，則|AB|的長為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線方程，利用待定系數(shù)法設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)拋物線的焦點關(guān)系求出λ即可得到結(jié)論．

解答 解：由雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x，可設(shè)雙曲線的方程為${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ$，
可知拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
則雙曲線的焦點為（1，0），
即c=1，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0）．
則a²=λ，b²=4λ，
則滿足c²=a²+b²，
即λ+4λ=1，
∴$λ=\frac{1}{5}$，雙曲線的方程為$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$，拋物線的準線為x=-1，
當x=-1時，代入$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$得y=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即A（-1，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），B（-1，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
則|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故選：D

點評 本題主要考查雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程是解決本題的關(guān)鍵．