Question

例3：已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對于任意的自然數(shù)n，均有

Sn

n

=

1

2

a_n成立，試證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析：通過

Sn

n

=

1

2

a_n分別求出a_n+1和a_n的值，二者相減進(jìn)而求出2a_n=a_n+1+a_n-1根據(jù)等差數(shù)列的等差性質(zhì)證明出{a_n}為等差數(shù)列．

解答：證明：∵

Sn

n

=

1

2

a_n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

n+1

2

•a_n-

n

2

•an①
∴a_n=S_n-S_n-1=

n

2

•an-

n-1

2

•an-1②
①-②得
a_n+1-a_n=

n+1

2

•a_n+1-

n-1

2

•an-1-na_n
即2a_n=a_n+1+a_n-1
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列

點評：本題主要考查了數(shù)列求和和等差數(shù)列的等差性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．