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已知三次函數f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b為實數，f（0）=1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為-6．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|對任意的x∈（-2，2）恒成立，求實數m的取值范圍．

解：（1）f'（x）=3x2+2ax-6 …（1分）
由導數的幾何意義，f'（1）=-6
∴a=- …（2分）
∵f（0）=1∴b=1 …（3分）
∴f（x）=x3-x2-6x+1 …（4分）
（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x1=-1，x2=2 …（5分）
當x∈（-2，-1）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（-1，2）時，f'（x）＜0，f（x）遞減．…（7分）
∴在區(qū)間（-2，2）內，函數f（x）的最大值為f（-1）= …（8分）
∵f（x）≤|2m-1|對任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥ …（10分）
∴2m-1≥ 2m-1≤-
∴m≥或m≤- …（12分）
分析：（1）先求函數的導數，進而根據f'（1）=-6求出a的值，然后根據f（0）=1，求出b的值即可求出函數的解析式；
（2）先利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數在區(qū)間（-2，2）內的最大值，再解不等式即可．
點評：本題的考查了導數的幾何意義、導數的求法以及函數恒成立問題，對于函數恒成立問題一般轉化成求函數的最值問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知三次函數f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區(qū)間[-3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求實數t的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

19、已知三次函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數y=f（x）的表達式；
（II）求函數y=f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區(qū)間[m-3，n]上的值域為[-4，16]，試求m、n應滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），命題p：y=f（x）是R上的單調函數；命題q：y=f（x）的圖象與x軸恰有一個交點．則p是q的（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三次函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（1）求函數f（x）的表達式； 
（2）求函數的單調區(qū)間和極值；
（3）求函數在區(qū)間[-2，5]的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則
f′(-3)f′(1)
=
 
．

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