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10.已知A、B、C的坐標(biāo)分別是A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα).
(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;
(2)若ACBC=-1,求\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}的值.

分析 (1)求出向量坐標(biāo),根據(jù)向量模長公式建立方程進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)向量數(shù)量積的定義建立方程關(guān)系,結(jié)合三角函數(shù)的三角公式進(jìn)行化簡即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)∵A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα).
\overrightarrow{AC}=(cosα-3,sinα),\overrightarrow{BC}=(cosα,sinα-3),
|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|,
\sqrt{(cosα-3)^{2}+si{n}^{2}α}=\sqrt{co{s}^{2}α+(sinα-3)^{2}},
整理得sinα=cosα知α=kπ+\frac{π}{4},k∈Z.
(2)若\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1,得(cosα-3,sinα)•(cosα,sinα-3)=-1,
即cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=-1,
整理得sinα+cosα=\frac{2}{3},
兩邊平方得2sinαcosα=-\frac{5}{9}
\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}=\frac{2si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+\frac{sinα}{cosα}}
=\frac{2sinα(sinα+cosα)}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}=2sinαcosα=-\frac{5}{9}

點(diǎn)評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量和三角函數(shù)的綜合,根據(jù)相應(yīng)的三角公式以及向量的坐標(biāo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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