(2012•南寧模擬)已知不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集為R,a為c的最大值,則曲線y=x3在點(diǎn)(a,b)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為( 。
分析:由題意求出a=2,曲線y=x3在點(diǎn)(a,b)處的切線斜率,把點(diǎn)(a,b)代入曲線y=x3可得b=8,用點(diǎn)斜式求出切線方程,再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),從而求得切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
解答:解:不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集為R,而|x-1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和3的距離之和,
其最小值為2,故有c≤2.
又a為c的最大值,則a=2.
由于曲線y=x3在點(diǎn)(a,b)處的切線斜率為3x2|x=2=12,把點(diǎn)(a,b)代入曲線y=x3可得b=8,
故曲線在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為 y-8=12(x-2),即 12x-y-16=0,
求得切線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-16)、(
4
3
,0),
故切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
1
2
×16×
4
3
=
32
3
,
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,屬于中檔題.
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6
4

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