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【題目】已知函數y=f(x)是R上的偶函數,對于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當x1 , x2∈[0,3],且x1≠x2時,都有 .給出下列命題: ①f(3)=0;
②直線x=﹣6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸;
③函數y=f(x)在[﹣9,﹣6]上為增函數;
④函數y=f(x)在[﹣9,9]上有四個零點.
其中所有正確命題的序號為(把所有正確命題的序號都填上)

【答案】①②④
【解析】解:①:對于任意x∈R,都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=﹣3,則f(﹣3+6)=f(﹣3)+f (3),又因為f(x)是R上的偶函數,所以f(3)=0. ②:由(1)知f (x+6)=f (x),所以f(x)的周期為6,
又因為f(x)是R上的偶函數,所以f(x+6)=f(﹣x),
而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(﹣6+x),f(﹣x)=f(﹣x﹣6),
所以:f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x),所以直線x=﹣6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸.
③:當x1 , x2∈[0,3],且x1≠x2時,都有
所以函數y=f(x)在[0,3]上為增函數,
因為f(x)是R上的偶函數,所以函數y=f(x)在[﹣3,0]上為減函數
而f(x)的周期為6,所以函數y=f(x)在[﹣9,﹣6]上為減函數.
④:f(3)=0,f(x)的周期為6,
所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0
函數y=f(x)在[﹣9,9]上有四個零點.
所以答案是:①②④.
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的零點的相關知識點,需要掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;函數的零點就是方程的實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標.即:方程有實數根,函數的圖象與坐標軸有交點,函數有零點才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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(1)CD⊥面GEF;
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(3)以AC,AE作為鄰邊的平行四邊形面積是8;
(4)∠EAD=60°.
其中正確命題的個數為( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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