Question

已知定義在(

3

2

，3)上的兩個函數(shù)f(x)=

a

1+x2

，g(x)=

1

x

-

3

16

，y=f(x)的圖象在點A(

3

，f

3

)處的切線的斜率為-

3

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試求實數(shù)k的最大值，使得對任意x∈(

3

2

，3)，不等式f(x)≥kg(x)恒成立；
（3）若x1，x2，x3∈(

3

2

，3)，且3x1x2x3=2(x1x2+x2x3+x3x1)，求證：

1

1+ x 2 1

+

1

1+ x 2 2

+

1

1+ x 2 3

≥

3

5

．

Answer 1

分析：（1）求f′（x），進一步求出f′（

3

），令其等于-

3

4

，得a值，代入得f（x）的解析式；
（2）把解析式代入不等式，觀察f（x）、g（x）均為正數(shù)，分離參數(shù)，設另一邊為函數(shù)h（x），求其導函數(shù)，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，得函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進一步求出其最大值，代入不等式可求k的范圍，即得k的最大值．
（3）由（2）的結論可得

2

1+x2

≥

32

25

（

1

x

-

3

16

），在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃，三式左右兩邊分別相加得一不等式，通分，結合所給等式，可得所求結果．

解答：解：（1）由f′(x)=-

2ax

(1+x2)2

及f′(

3

)=-

3

4

即可求得a=2，則f(x)=

2

1+x2

；（3分）
（2）當x∈(

3

2

，3)時，

1

x

＞

1

3

＞

3

16

?g(x)=

1

x

-

3

16

＞0，
不等式f（x）≥kg(x)?

2

1+x2

≥k•

16-3x

16x

?

32

k

≥

(16-3x)(1+x2)

x

（5分）
令h(x)=

(16-3x)(1+x2)

x

=-3x2+16x+

16

x

-3，x∈(

3

2

，3)
由于h′(x)=

-6x3+16x2-16

x2

=

-6(x-2)(x- 1+ 13 3 )(x- 1- 13 3 )

x2

（7分）
當x∈(

3

2

，

1+ 13

3

)時，h′(x)＜0；
當x∈(

1+ 13

3

，2)時，h′(x)＞0；
當x∈（2，3）時，h'（x）＜0．
又h(

3

2

)=

23×13

12

＜25=h(2)，
故h（x）_max=h（2）=25，
于是由

32

k

≥25得k≤

32

25

，即k的最大值為

32

25

；（10分）
（3）由（2）知，

2

1+x2

≥

32

25

•

16-3x

16x

在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃再三式作和即得

2

1+ x 2 1

+

2

1+ x 2 1

+

2

1+ x 2 3

≥

32

25

(

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

-

9

16

)=

32

25

(

x1x2+x2x3+x3x1

x1x2x3

-

9

16

)=

32

25

•(

3

2

-

9

16

)=

6

5

，
所以有

1

1+ x 2 1

+

1

1+ x 2 2

+

1

1+ x 2 3

≥

3

5

．（14分）

點評：本題考查導數(shù)在最大值問題中的應用，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件；
證明不等式一般會用到上面的結論，仔細觀察要證式子及已證式子的特點，兩者如何連接．