如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB1=3，M、N分別是B1C1和AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AB1與BC1所成的角；
（2）求MN的長；
（3）求MN與底面ABC所成的角．

解：（1）過C作CD∥AB，過A作AD∥CB，交CD于D，連接C1D，
∵B1C1∥BC，B1C1=BC，BC∥AD，BC=AD，
∴四邊形ADC1B1為矩形，且AB1∥C1D，
∴∠BC1D為異面直線AB1與BC1所成的角或其補(bǔ)角．由已知條件和余弦定理可得．
∴異面直線AB1與BC1所成的角為．
（2）取BC的中點(diǎn)P，連接MP、NP，則MP∥BB1，
∴MP⊥平面ABC，又NP?平面ABC，
∴MP⊥NP．，MP=3，
∴．
（3）由（2）知，MN與底面所成的角為∠MNP，且NP=2，
，．
分析：（1）過C作CD∥AB，過A作AD∥CB，交CD于D，連接C1D，易得四邊形ADC1B1為矩形，即∠BC1D為異面直線AB1與BC1所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)余弦定理易得到異面直線AB1與BC1所成的角；
（2）取BC的中點(diǎn)P，連接MP、NP，根據(jù)三角形中位線定理，得MP∥BB1，則MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的長；
（3）由（2）的結(jié)論，MN與底面所成的角為∠MNP，解三角形MNP即可得到MN與底面ABC所成的角．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，根據(jù)線面夾角及異面直線夾角的定義，求出線面夾角及異面直線夾角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大��；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大��；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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