Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，M、N分別為B₁B和A₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線(xiàn)MN與平面ADD₁A₁所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角A-MN-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求直線(xiàn)MN與平面ADD₁A₁所成的角，關(guān)鍵是找出線(xiàn)面角，取AA₁中點(diǎn)P，連接PM，PN．則MP⊥面ADD₁A₁．故可求．
（Ⅱ）要求二面角A-MN-A₁的余弦值，關(guān)鍵是作出二面角A-MN-A₁的平面角，利用定義可求，在△AMN中，易知AN=MN=

5

2

，AM=

2

，從而求得AG=

30

5

．在△A₁G A中，可求cos∠A₁G A=-

2

3

．

解答：解：（Ⅰ）取AA₁中點(diǎn)P，連接PM，PN．則MP⊥面ADD₁A₁．
所以∠PNM為直線(xiàn)MN與平面ADD₁A₁所成的角．…（2分）
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故直線(xiàn)MN與平面ADD₁A₁所成的角為arctan2．…（6分）

（Ⅱ）∵N是A₁D的中點(diǎn)，M是BB₁的中點(diǎn)，
∴A₁N=AN，A₁M=AM．
又MN為公共邊，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，連接A₁G，
則∠A₁G A即為二面角A-MN-A₁的平面角．…（8分）
在△AMN中，易知AN=MN=

5

2

，AM=

2

，從求得AG=

30

5

．
在△A₁G A中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁G A=-

2

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以正四棱柱為載體，考查線(xiàn)面角，面面角，關(guān)鍵是作、證、求，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．