Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（III）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I）借助題設(shè)條件運(yùn)用極值的定義建立方程求解；（II）借助題設(shè)運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想分析推證；（III）依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識探求.

試題解析：

（I）

因為為的極值點，所以，即，解得。

（II）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立。

當(dāng)時，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故 符合題意。

當(dāng)時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立。

令函數(shù)，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以。因為，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。

（Ⅲ）當(dāng)時，方程可化為。

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域。

因為函數(shù)，令函數(shù)，

則，

所以當(dāng)時，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此。

而，所以，因此當(dāng)時，b取得最大值0.