已知曲線f(x)=x(a+b•lnx)過點(diǎn)P(1,3),且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線2x+3y=0垂直.
求(Ⅰ) 常數(shù)a,b的值;(Ⅱ)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(Ⅰ)對(duì)函數(shù)f(x)=x(a+b•lnx)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)P處切線斜率是
3
2
,可得出即a+b=
3
2
;然后根據(jù)曲線f(x)=x(a+b•lnx)過點(diǎn)P(1,3),求出a、b的值;
(Ⅱ)首先對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解。á瘢⿹(jù)題意f(1)=3,所以a=3(1)
f′(x)=(a+blnx)+x•b•
1
x
=a+b+blnx
,
又曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為
3
2

∴f'(1)=3,即a+b=
3
2
(2)
由(1)(2)解得a=3 ,b=-
3
2

(Ⅱ)f′(x)=
3
2
-
3
2
lnx=
3
2
(1-lnx)

∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f'(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)區(qū)間為(0,e),(e,+∞),在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù),在區(qū)間(e,+∞)上是減函數(shù).
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,此題難度不大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線f(x)=
x-1
在點(diǎn)A(2,1)處的切線為直線l
(1)求切線l的方程;
(2)求切線l,x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,若曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為3,且當(dāng)x=
23
時(shí),y=f(x)有極值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線f(x)=x3+bx2+cx在點(diǎn)A(-1,f(-1)),B(3,f(3))處的切線互相平行,且函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b,c的值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x),x∈[-
12
,3]
的圖象與直線y=m恰有三個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案