Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x2+x，其定義域是（0，+∞），

∴

令f'（x）=0，即 ，解得 或x=1．

∵x＞0，∴ 舍去．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1﹣12+1=0

（2）解：法一：因?yàn)閒（x）=lnx﹣a2x2+ax其定義域?yàn)椋?，+∞），

所以

①當(dāng)a=0時(shí)， ，

∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，不合題意

②當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即 ．

此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

依題意，得 解之得a≥1．

③當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即

此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，

∴ 得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 法二：∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，x∈（0，+∞）

∴

由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得﹣2a2x2+ax+1≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．①當(dāng)a=0時(shí)，1≤0不合題意②當(dāng)a≠0時(shí)，可得 即

∴

∴

【解析】（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）最大值；（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，然后利用導(dǎo)數(shù)f′（x）≤0（注意函數(shù)的定義域）來(lái)解答，方法一是先解得單調(diào)減區(qū)間A，再與已知條件中的減區(qū)間（1，+∞）比較，即只需要（1，+∞）A即可解答參數(shù)的取值范圍；方法二是要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，我們可以轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立的問(wèn)題來(lái)求解，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間于對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系來(lái)解答也可達(dá)到目標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．