在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AD,DD1的中點(diǎn),AB=BC=2,A1A=2
2

(Ⅰ)求證:EF∥平面A1BC1;
(Ⅱ)在線段BC1是否存在點(diǎn)P,使直線A1P與C1D垂直,如果存在,求線段A1P的長(zhǎng),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)連接AD1,根據(jù)正方體的幾何特征可得四邊形ABC1D1是平行四邊形,進(jìn)而根據(jù)E,F(xiàn)分別是AD,DD1的中點(diǎn),由三角形中位線定理可得AD1∥EF,最后由線面平行的判定定理得到EF∥平面A1BC1;
(Ⅱ)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,過Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,推出A1P⊥C1D,證明A1P⊥C1D,推出△D1C1Q∽R(shí)t△C1CD,再求求線段A1P的長(zhǎng).
解答:證明:(Ⅰ)連接AD1,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,
AB
.
.
D1C1
,則四邊形ABC1D1是平行四邊形,
∴AD1∥BC1,
又∵E,F(xiàn)分別是AD,DD1的中點(diǎn)
∴AD1∥EF,
∴EF∥BC1,又EF?面A1BC1,BC1?面A1BC1,
∴EF∥平面A1BC1(3分)
解:(II)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,
過Q作QP∥CB交BC1于點(diǎn)P,則A1P⊥C1D.(7分)
因?yàn)锳1D1⊥平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P?平面A1PQC1,∴A1P⊥C1D.(10分)
∵△D1C1Q∽R(shí)t△C1CD,
C1Q
CD
=
D1C1
C1C
,∴C1Q=
2

又∵PQ∥BC,
∴PQ=
1
2
BC=1.
∵四邊形A1PQD1為直角梯形,且高D1Q=
6

∴A1P=
(2-1)2+6
=
7
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間幾何體中直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=
3
,AD=
3
,AA′=1,則AA′和BC′所成的角是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一個(gè)棱錐C-A′DD′,求棱錐C-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海) 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.證明直線BC′平行于平面D′AC,并求直線BC′到平面D′AC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•青浦區(qū)二模)(理)在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.
求:
(1)頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離;
(2)二面角B-AC-B'的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn),AB=BC=2,CC′=1.
(Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn),求二面角P-BD-E的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案