【題目】已知橢圓:,過橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長是,且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)動點(diǎn)滿足:,其中,是橢圓上的點(diǎn),直線與直線的斜率之積為,求點(diǎn)的軌跡方程并判斷是否存在兩個定點(diǎn)、,使得為定值？若存在,求出定值;若不存在,說明理由.

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）因為橢圓:,過橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長是,可得.點(diǎn)在橢圓上,可得,即可求得答案;

（2）設(shè),,,則由得:,即,.點(diǎn),在橢圓上,結(jié)合已知,即可求得答案.

（1）橢圓：,過橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長是

,即①

點(diǎn)在橢圓上

即 ②

由①②解得: ,

化簡可得:

解得,,,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè),,,則由

得:,

即,.

點(diǎn),在橢圓上,

,,

故

,

設(shè),分別為直線,的斜率,

由題設(shè)條件知:,可得,

,

點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為點(diǎn),,

使得為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求；

（2）當(dāng)時，

（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列為遞增數(shù)列且，設(shè)，試問是否存在正整數(shù)（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，則是否存在實數(shù)，使得恒成立？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）

A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩個相異點(diǎn)，證明：面積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費(fèi)5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；

（2）該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？

（3）小明打算將四件禮物隨機(jī)分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費(fèi)為45元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面夾角的余弦值，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來越便利．根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某條地鐵線路運(yùn)行時，發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：4≤t≤15，N，平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)（單位：人）與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關(guān)系：，其中.

(1）若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過1500人，試求發(fā)車時間間隔t的值．

(2）若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔t為多少時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大？井求出最大凈收益．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】東方商店欲購進(jìn)某種食品（保質(zhì)期兩天），此商店每兩天購進(jìn)該食品一次（購進(jìn)時，該食品為剛生產(chǎn)的）.根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進(jìn)價元，售價元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該產(chǎn)品在本地區(qū)天的銷售量如下表：

（視樣本頻率為概率）

（1）根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望

（2）以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進(jìn)或份，哪一種得到的利潤更大？

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