Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+4n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）由S_n=n²+4n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1²+4=5；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3．
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n=2n+3． （3分）
又b_n+1=2b_n+1，b₁=1，即b_n+1+1=2（b_n+1），可得，
∴數(shù)列{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，b_n=2ⁿ-1． （6分）
（2）由（1）得c_n==n•2^n-1．
T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，…①．
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，…②．
由①-②得-T_n=1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-n•2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1． （12分）
分析：（1）由S_n=n²+4n，求出a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，求出a_n．利用b_n+1=2b_n+1，b₁=1，判斷數(shù)列{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，然后求解b_n．
（2）利用c_n=，求出c_n，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，數(shù)列的判定，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．