Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面

(Ⅱ)求證：平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為300?如果存在，求出線段的長(zhǎng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】

(1) 方法一：取中點(diǎn)為,連結(jié),，要證平面，即證：,；方法二：以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，又因?yàn)?/span>,即可得證.(2)方法一：要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面即證；方法二：分別求出兩個(gè)平面的法向量即可得證.(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可得到結(jié)果.

方法一：(1)取中點(diǎn)為,連結(jié),

由且,

又點(diǎn)為中點(diǎn)，所以 ,

又因?yàn)?/span>分別為,中點(diǎn),所以 ,

所以,

所以共面于平面 ,

因?yàn)?/span>,分別為中點(diǎn), 所以,

平面,

平面,

所以平面 .

方法二：在直三棱柱中，平面

又因?yàn)?/span>,

以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意得,.

所以,,

設(shè)平面的法向量為，則

，即,

令，得,

于是 ,

又因?yàn)?/span>,

所以 ,

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面 .

（2）方法一：在直棱柱中，平面,

因?yàn)?/span> ，所以,

又因?yàn)?/span>，

且,

所以平面 ,

平面，所以,

又，四邊形為正方形,

所以 ,

又，所以,

又，

且,

所以平面 ,

又平面,

所以平面平面 .

方法二：設(shè)平面的法向量為，,

，即 ,

令，得,

于是 ,

,

即，所以平面平面.

（3）設(shè)直線與平面所成角為，則,

設(shè)，則 ,

,

所以 ,

解得或（舍）,

所以點(diǎn)存在，即的中點(diǎn)，.