Question

若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數(shù)”．下列關(guān)于“λ-同伴函數(shù)”的命題：
①“

1

2

-同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)； 
②f（x）=x²是“λ-同伴函數(shù)”；
③f（x）=2^x是“λ-同伴函數(shù)”；      
④f（x）=0是唯一一個(gè)常值“λ-同伴函數(shù)”．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由定義，得出條件方程．然后令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）＜0，由此可得結(jié)論．
②可以用反證法，舉出反例．③設(shè)由條件方程，得到2^λ+λ=0，從而結(jié)合圖象能確定方程到2^λ+λ=0有解，從而滿足定義．
④設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”

解答：①令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-f（0）．若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-（f（0））²＜0．
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“-伴隨函數(shù)”必有根，即任意“-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故①正確
②用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，故②不正確；
③設(shè)f（x）=2^x是“λ-同伴函數(shù)”，則2^x+λ+λ?2^x=0，即2^x?2^λ+λ?2^x=0，所以2^λ+λ=0，即2^λ=-λ．作出函數(shù)y=2^x，y=-x，由圖象可知2^λ=-λ．，有唯一解，所以③f（x）=2^x是“λ-同伴函數(shù)”．
④設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”，故④不正確．
所以正確的命題是①③．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．