Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}和{b_n}的每一項都是正數(shù)，且a₁=8，b₁=16，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得：2b₁=a₁+a₂，${a_2}^2={b_1}{b_2}$，即可得出．
（2）由已知可得：2b_n=a_n+a_n+1，${（{{a_{n+1}}}）^2}={b_n}{b_{n+1}}$，${a_{n+1}}=\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}$，利用遞推關(guān)系可得：$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n，進而得到a_n．

解答 解：（1）由2b₁=a₁+a₂，可得a₂=2b₁-a₁=24，
由${a_2}^2={b_1}{b_2}$，可得${b_2}=\frac{{{a_2}^2}}{b_1}=36$，
（2）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，故2b_n=a_n+a_n+1，①
b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列${（{{a_{n+1}}}）^2}={b_n}{b_{n+1}}$，
又數(shù)列{a_n}和{b_n}的每一項都是正數(shù)所以${a_{n+1}}=\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}$  ②
于是，當(dāng)n≥2時，有${a_n}=\sqrt{{b_n}{b_{n-1}}}$  ③
將②③代入①可得當(dāng)n≥2時$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，
因此數(shù)列$\left\{{\sqrt{b_n}}\right\}$是首項為$\sqrt{b_1}=4$，公差為2的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{b_n}=2n+2⇒{b_n}=4{（{n+1}）^2}$，則當(dāng)n≥2時，${a_n}=\sqrt{{b_n}{b_{n-1}}}=\sqrt{4{n^2}4{{（{n+1}）}^2}}=4n（{n+1}）$，
當(dāng)n=1時，a₁=8，滿足上式．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題．