Question

已知定義在（0，

π

2

）上的函數f（x）的導函數為f′（x），且對任意x∈（0，

π

2

），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，則不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件，構造函數g（x）=

f(x)

sinx

，求函數的導數，利用導數即可求出不等式的解集．

解答： 解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，
則f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
構造函數g（x）=

f(x)

sinx

，
則g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

，
當x∈（0，

π

2

）時，g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＜0，
即函數g（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，
則不等式式f（x）＜2f（

π

6

）sinx等價為式

f(x)

sinx

＜

f( π 6 )

1 2

=

f( π 6 )

sin π 6

，
即g（x）＜g（

π

6

），
則

π

6

＜x＜

π

2

，
故不等式的解集為（

π

6

，

π

2

），
故答案為：（

π

6

，

π

2

）

點評：本題主要考查不等式的 求解，根據條件構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．