Question

（本小題滿分12分）如圖,直角梯形ABCD中，，AD = AB = 2， BC = 3，E，F(xiàn)分別是AD,BC上的兩點(diǎn)，且AE =BF＝1，G為AB中點(diǎn),將四邊形ABCD沿EF折起到（如圖2）所示的位置，使得EG丄GC，連接 AD、BC、AC得（圖2）所示六面體．

（1）求證：EG丄平面CFG;

（2）求二面角A —CD-E的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．

試題解析：證明：（Ⅰ）分別是上的兩點(diǎn)，

四邊形為矩形

折疊后，即平面

連接

由已知得

平面 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

平面

7分

如圖建系則（1,0,2）（0,2,0）（0,1,2）

設(shè)=為平面的法向量，

得．則令得 9分

又為平面的法向量，

設(shè)二面角為，則，即 12分

考點(diǎn)：1、直線與平面垂直的判定；2、求二面角的余弦值．