Question

用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)．
求：
（1）可以組成多少個(gè)四位數(shù)？
（2）可以組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)？
（3）可以組成多少個(gè)能被5整除的四位數(shù)？

Answer 1

分析：（1）千位數(shù)字不能取0，有

A

1 5

=5種取法，百位，十位和個(gè)位從剩余的5個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，有

A

3 5

=60種選法，由乘法原理能夠得到可以組成多少個(gè)四位數(shù)．
（2）根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，當(dāng)末位是0時(shí)，千位、十位和百位從5個(gè)元素中選3個(gè)進(jìn)行排列有A₅³種結(jié)果，當(dāng)末位不是0時(shí)，末位只能從2和4中選一個(gè)，千位從4個(gè)非0元素中選一個(gè)，百位、十位從剩余4個(gè)中選2個(gè)，共有A₂¹A₄²A₄¹結(jié)果．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有多少個(gè)不同的四位偶數(shù)．
（3）能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知當(dāng)末位是0時(shí)，千位、十位和百位從5個(gè)元素中選3個(gè)進(jìn)行排列有A₅³種結(jié)果，當(dāng)末位是0時(shí)，千位數(shù)字不能取零，有

A

1 4

種取法，十位和百位從4個(gè)元素中選2個(gè)進(jìn)行排列有A₄²種結(jié)果，共有

A

1 4

•

A

2 4

結(jié)果，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有多少個(gè)能被5整除的四位數(shù)．

解答：解：（1）千位數(shù)字不能取0，可以取1，2，3，4，5，有

A

1 5

=5種取法，百位，十位和個(gè)位從剩余的5個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，有

A

3 5

=60種選法，由乘法原理得可以組成

A

1 5

•

A

3 5

=300個(gè)四位數(shù)．
（2）根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，
當(dāng)末位是0時(shí)，千位、十位和百位從5個(gè)元素中選3個(gè)進(jìn)行排列有A₅³=60種結(jié)果，
當(dāng)末位不是0時(shí)，末位只能從2和4中選一個(gè)，千位從4個(gè)非0元素中選一個(gè)，百位、十位從剩余4個(gè)中選2個(gè)，
共有A₂¹A₄²A₄¹=96種結(jié)果．
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有60+96=156個(gè)不同的四位偶數(shù)．
（3）能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5．
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知
當(dāng)末位是0時(shí)，千位、十位和百位從5個(gè)元素中選3個(gè)進(jìn)行排列有A₅³=60種結(jié)果，
當(dāng)末位是0時(shí)，千位數(shù)字不能取零，有

A

1 4

種取法，十位和百位從4個(gè)元素中選2個(gè)進(jìn)行排列有A₄²=12種結(jié)果，
共有

A

1 4

•

A

2 4

=48個(gè)結(jié)果，
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有60+48=108個(gè)能被5整除的四位數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行分類(lèi)．