Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）證明an=

3n-1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），當(dāng)n=2時(shí)可求a₂，n=3時(shí)求得a₃
（Ⅱ）利用遞推式構(gòu)造a_n-a_n-1=3^n-1，然后通過(guò)累加可求出a_n

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，
∴a₂=3+1=4，
∴a₃=3²+4=13；

（Ⅱ）證明：由已知a_n-a_n-1=3^n-1，n≥2
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3n-1+3n-2+…+3+1=

3n-1

2

．n≥2
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式．
所以an=

3n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)基礎(chǔ)題，主要考查由遞推式求數(shù)列的項(xiàng)和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，注意驗(yàn)證n=1．