Question

3．二項(xiàng)式（$\frac{x}{\sqrt{2}}$-y）⁸的展開式中，x⁴y⁴與x²y⁶項(xiàng)的系數(shù)之和是$\frac{63}{2}$（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出x⁴y⁴與x²y⁶項(xiàng)的系數(shù)，再求和即可．

解答 解：（$\frac{x}{\sqrt{2}}$-y）⁸的展開式中，通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{x}{\sqrt{2}}）}^{8-r}$•（-y）^r=$\frac{{（-1）}^{r}}{{（\sqrt{2}）}^{8-r}}$•x^8-r•y^r，
當(dāng)r=4時，可得x⁴y⁴的系數(shù)為$\frac{{（-1）}^{4}}{{（\sqrt{2}）}^{8-4}}$•${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{2}$；
當(dāng)r=6時，可得x²y⁶的系數(shù)為$\frac{{（-1）}^{6}}{{（\sqrt{2}）}^{8-6}}$•${C}_{8}^{6}$=14；
所以展開式中x⁴y⁴與x²y⁶項(xiàng)的系數(shù)之和是$\frac{35}{2}$+14=$\frac{63}{2}$．
故答案為：$\frac{63}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．