Question

已知f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5），
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定義域為實數(shù)R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求m的值，并確定f（x）的解析式．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定義域為實數(shù)R，求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5），
∴-2m²+m+3＞0，
即2m²-m-3＜0，
解得-1＜m＜

3

2

，
∵m∈Z，∴m=0或m=1，
當(dāng)m=0時，f（x）=x³為奇函數(shù)，不滿足條件．
當(dāng)m=1時，f（x）=x²為偶函數(shù)，滿足條件．
（2）若y=lg[f（x）-ax+1]的定義域為實數(shù)R，
則f（x）-ax+1＞0恒成立，
即x²-ax+1＞0恒成立，
則判別式△=a²-4＜0，
解得-2＜a＜2，
故實數(shù)a的取值范圍是a∈（-2，2）．

點評：本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出冪函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．