Question

設(shè)函數(shù)y=（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1，
（1）求f（1）的值
（2）如果f（x）+f（

2

3

-x）≤2，求x的值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）的值；
（2）依題意，f（x）+f（

2

3

-x）≤2⇒x（

2

3

-x）≥

1

9

，解之即可．

解答：解：令x=y=1則f（1x1）=f（1）+f（1），故f（1）=0
（2）由題意知x＞0，且

2

3

-x＞0，
而f（x）+f（

2

3

-x）=f[x（

2

3

-x）]≤f（

1

3

）+f（

1

3

）=f（

1

9

）
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，
故x（

2

3

-x）≥

1

9

，故x=

1

3

∈（0，

2

3

）．
∴x=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，突出考查賦值法與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與不等式思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．