Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在一周期內(nèi)，當x=

π

12

時，y取得最大值3，當x=

7π

12

時，y取得最小值-3．
求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；并求函數(shù)f（x） 的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸方程；
（2）當x∈[-

π

12

，

π

12

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大、最小值及相應的x值，可得A=3且ω=2，再由函數(shù)在x=

7π

12

時取得最小值-3，列式解出φ=

π

3

，由此得到函數(shù)的表達式，最后根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對稱軸方程的結(jié)論，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸方程．
（2）當x∈[-

π

12

，

π

12

]時，可得2x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

2

]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵在一周期內(nèi)，函數(shù)當x=

π

12

時取得最大值3，當x=

7π

12

時取得最小值-3．
∴正數(shù)A=3，周期T滿足

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，得T=π，所以ω=

2π

T

=2
因此，函數(shù)表達式為f（x）=3sin（2x+φ），
將點（

7π

12

，-3）代入，得-3=3sin（2×

7π

12

+φ），即sin（2×

7π

12

+φ）=-1
∴

7π

6

+φ=-

π

2

+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=

π

3

綜上所述，f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+

π

3

）
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ＜x＜

π

12

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為（-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ），k∈Z
由2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，解得x=

π

12

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=

π

12

+kπ，k∈Z．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

2

]，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
即得-

3

2

≤3sin（2x+

π

3

）≤3
因此，函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）的值域為[-

3

2

，3]．

點評：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的值域，著重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．