已知:橢圓和雙曲線.過橢圓C1的右焦點F2作與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于P,Q兩點,|PQ|=3.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若以橢圓右頂點A為圓心,|AF2|為半徑的圓與雙曲線C2的漸近線相切,求雙曲線的方程.
【答案】分析:(1)橢圓過焦點垂直長軸的直線被橢圓截得的弦長等于,用此公式代入已知條件,可以求出橢圓C1的半短軸b的值,從而得出橢圓C1的方程;
(2)以橢圓右頂點A為圓心,|AF2|為半徑的圓與雙曲線C2的漸近線相切,說明右頂點A(2,0)到雙曲線的漸近線2x±ay=0的距離等于該圓的半徑1,用點到直線的距離公式建立關(guān)系式,可以求出雙曲線的實半軸a的值,從而得出雙曲線的方程.
解答:解:(1)根據(jù)橢圓,
過右焦點F2作與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ|=3.
可得:
所以橢圓C1的方程為;
(2)由(1)得橢圓的右頂點為A(2,0),焦點F2(1,0)
∵橢圓右頂點A為圓心,|AF2|為半徑的圓與雙曲線C2的漸近線相切,
∴點A(2,0)到直線的距離等于圓的半徑1
⇒a2=12
∴雙曲線C2的方程為:
點評:本題考查了橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程,屬于中檔題.直線與圓錐曲線、直線與圓和橢圓相結(jié)合,利用點到直線的距離解決相切相交等等考點,是近幾年?嫉闹R點,值得我們注意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
m2
+
y2
16
=1(m>0)
和雙曲線
x2
n2
-
y2
9
=1(n>0)
有相同的焦點F1、F2,點P為橢圓和雙曲線的一個交點,則|PF1|•|PF2|的值是
25
25

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已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點M(1,2),它們在x軸上有共同焦點,橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸,拋物線的頂點為坐標原點.
(1)求這三條曲線的方程;
(2)對于拋物線上任意一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,求a的取值范圍.

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已知是橢圓和雙曲線的公共頂

點。是雙曲線上的動點,是橢圓上的動點(都異于、),且滿足,其中,設(shè)直線、、、的斜率 分別記為, ,則        

 

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已知是橢圓和雙曲線的公共頂點。是雙曲線上的動點,是橢圓上的動點(、都異于、),且滿足,其中,設(shè)直線、、的斜率分別記為, ,則              

 

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