Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n+13；
（3）求{（30-a_n）•2ⁿ}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且d不為零，運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d=-2，進而得到所求數(shù)列的通項公式；
（2）運用等差數(shù)列的求和公式，注意首項為25，公差為-6，項數(shù)為n+5，計算即可得到；
（3）求得（30-a_n）•2ⁿ=（2n+3）•2ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且d不為零，
a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比數(shù)列，可得
a₁₁²=a₁a₁₃，即為（25+10d）²=25（25+12d），
即有d²=-2d，解得d=-2（0舍去），
可得a_n=a₁+（n-1）d=25-2（n-1）=27-2n；
（2）a₁+a₄+a₇+…+a_3n+13=25+19+13+…+（27-6n-26）
=25+19+13+…+（1-6n）=$\frac{1}{2}$（25+1-6n）（n+5）=-3n²-2n+65；
（3）（30-a_n）•2ⁿ=（2n+3）•2ⁿ，
則前n項和T_n=5•2+7•2²+9•2³+…+（2n+3）•2ⁿ，
2T_n=5•2²+7•2³+9•2⁴+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=10+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=10+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
化簡可得前n項和為（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查等比數(shù)列的中項性質(zhì)和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．